Как подключить двухпозиционный переключатель?

Не зная, какая у вас марка, я просто погуглил двойные переключатели, увидел Leviton 5224-2W и заметил, что чёрные винты предназначены для ножек переключателя, идущих к каждому светильнику, а латунные винты — для общего провода под напряжением, который обычно соединяется съёмным ребром (или «выступом», как упомянул Брэд Гилберт). Если ребро было снято, вам придётся сделать перемычку из провода, чтобы подключить оба переключателя. При подключении используйте латунный винт (или винты) для постоянного подключения к сети, а чёрные винты — для независимых контактов переключателя. Если на переключателе неправильно расположены контакты, возникнет проблема, которую вы описали.

В наглядной форме это выглядит так:

Вместо этого вам нужно сделать следующее:

Черно-белый провод, идущий снизу, будет обозначать фазу/нейтраль на выключателе. Это предположение, так как фаза может идти и к одному из светильников. Если это не похоже на то, что у вас есть, пришлите несколько фотографий.