Как прикрепить этот поворотный кронштейн для складных дверей к стене?

Я бы предположил, что за гипсокартоном внизу находится горизонтальная пластина 2x4, на которую опираются вертикальные стойки. Кронштейн должен быть достаточно низким, чтобы можно было использовать 2-дюймовый винт и анкер.

Возможно, вам захочется отремонтировать гипсокартон, прежде чем устанавливать кронштейн обратно. По фотографиям сложно сказать, насколько серьезны повреждения: можно ли заделать их шпаклевкой или придется зашивать гипсокартон. Советы по ремонту гипсокартона см. в этом вопросе.

Можно добавить деревянную или металлическую планку, идущую слева направо через всю поверхность. Она скроет повреждение и придаст стене необходимую прочность. В идеале нужно устранить повреждение и добавить деревянную стойку за гипсокартоном, чтобы шуруп входил в неё, а не в гипсокартон. Но это, скорее всего, потребует дополнительных затрат и усилий.