Может ли система отопления, вентиляции и кондиционирования решить мою проблему с вентиляцией?

Системы отопления, вентиляции и кондиционирования не обмениваются воздухом с внешней средой, если только вы специально не установите воздухообменник. В старых домах в этом не было необходимости, потому что они были достаточно герметичными и свежий воздух всегда поступал откуда-то извне. В новых домах и домах, недавно прошедших капитальный ремонт, герметичность может быть настолько высокой, что потребуется воздухообменник.

Судя по вашему ответу, у вас старый дом, недавно отремонтированный и герметизированный, с существующими воздуховодами и печью.

Исходя из этого, вам не нужна новая система отопления, вентиляции и кондиционирования, вам нужен дополнительный воздухообменник, например такой:

Чтобы эта машина могла всасывать воздух снаружи и выдувать его изнутри, необходимо установить воздуховод снаружи. На мой взгляд, такое устройство лучше всего устанавливать на возвратном воздуховоде существующей печи, чтобы можно было подавать свежий воздух, нагревать его и распределять по дому.

Система отопления, вентиляции и кондиционирования может улучшить ситуацию, особенно если вы купите вместе с ней систему фильтрации воздуха, но я бы не стал покупать её только из-за этого. Вы покупаете систему отопления, вентиляции и кондиционирования, если в вашем доме слишком жарко или слишком холодно, а не если воздух в нём затхлый. В таком случае я бы хорошенько прибрался, почистил ковры, устранил все проблемы с сыростью и купил пару портативных воздушных фильтров HEPA. Вероятно, это будет эффективнее и уж точно намного дешевле, чем покупка системы отопления, вентиляции и кондиционирования!