Почему первый душ за день холоднее второго?

В этом руководстве по газовому водонагревателю State Select говорится: «Из-за особенностей типичного газового водонагревателя
температура воды в некоторых ситуациях может быть на
30 °F выше или ниже в месте использования, например в ванне,
душе, раковине и т. д.».
Это означает, что, когда регулятор температуры
установлен на отметке, близкой к 120 °F, фактическая температура воды
из любого крана с горячей водой может достигать
150 °F или опускаться до 90 °F. (стр. 16).

Учитывая, что у вас установлена низкая температура, вполне вероятно, что вы наблюдаете ожидаемое поведение этого устройства. Вы можете проконсультироваться с сантехником, чтобы узнать, можно ли добиться более стабильной температуры, установив термостат на более высокое значение и подключив смесительный клапан для регулировки температуры до желаемого уровня. Это также может дать вам возможность использовать более горячую воду в определенных местах (например, в посудомоечной машине), где она не представляет опасности для ваших детей.

Я видел, как люди успешно решали эту проблему, просто заменив термостат. То есть утром вода была чуть тёплой, но после первого использования больше никогда не становилась тёплой.

https://www.youtube.com/watch?v=6X0UWNam36I (обратите внимание, что для газовых труб следует использовать жёлтую изоленту).

Также некоторые пользователи в комментариях упомянули, что можно снять трубу и «очистить» её от отложений, это тоже может сработать...

Гистерезис

При первом включении душа есть большая вероятность, что водонагреватель будет работать в нижней половине своего температурного диапазона. При втором включении душа водонагреватель нагревает воду до верхней границы температурного диапазона.
В цепь встроен гистерезис, чтобы водонагреватель не включался и не выключался часто, пытаясь поддерживать воду в небольшом диапазоне температур.
Некоторые термостаты имеют функцию регулировки гистерезиса, которая позволяет задать допустимый диапазон температур.

Думаю, вы понимаете, в чём дело. Я думаю, что для водонагревателей характерны большие перепады температуры. Это позволяет им реже включаться и выключаться. Когда вода слишком горячая, это не проблема. Если немного убавить температуру, «особенность» станет заметнее. Замена, скорее всего, будет аналогичной. Вы можете попробовать немного увеличить температуру, но не настолько, чтобы это было действительно опасно. Когда ваши дети подрастут и поймут, что такое «горячо», вы сможете сделать температуру ещё выше.

Я бы посоветовал вам сначала попробовать установить на водонагреватель теплоизоляционную оболочку, чтобы уменьшить потери тепла из бака за ночь.