С чего мне начать демонтаж этой деревянной рамы?

Раз уж вы беспокоитесь о сохранности дерева... По фотографии сложно сказать, но я бы начал с того, что попробовал бы поддеть его клином или монтировкой и аккуратно приподнять. Гвозди либо выйдут вместе с доской, либо (если это гвозди для вагонки) пройдут сквозь неё. В последнем случае её будет легче отремонтировать, чем в большинстве случаев, когда сначала нужно вытащить гвозди.

(В прошлом году при демонтаже более простой оконной рамы я использовал набор пластиковых клиньев, а затем аккуратно поддевал её монтировкой. В итоге я всё равно заменил всю эту отделку, так как решил, что лучше видеть дуб, чем краску, но при желании я мог бы установить её обратно.)

Можно использовать сабельную пилу, чтобы распилить раму сбоку и вытащить гвозди.

Вы также можете разрезать внутреннюю раму на части, не задевая оригинальную раму. Затем просто разбейте её молотком и зубилом

Или, если вы можете найти шляпки гвоздей, просто обстучите их (не задевая гвозди) и оставьте достаточно места, чтобы можно было захватить шляпки щипцами.

Шляпки гвоздей встроены в раму, которую вы хотите снять/избавиться от неё?
С помощью Dremel или аналогичного инструмента можно быстро удалить древесину/заполнитель вокруг отверстий от гвоздей, чтобы добраться до самих гвоздей.